mul_lt_mul_of_lt_of_le_of_nonneg_of_pos

English

If a ≤ b and a ≤? d with c ≤ d and nonnegativity, then a*c < b*d or related. (Context: monotone behavior under left-multiplication with nonnegativity.)

Русский

При монотонности умножения слева и неотрицательности выводится соответствующее неравенство.

LaTeX

$$$\\\\forall α\\,[Mul α][Zero α][Preorder α],\\\\\\\\forall a,b,c,d \\in α, a \\le b \\rightarrow c \\le d \\rightarrow 0 \\le a \\rightarrow 0 \\le d \\rightarrow a \\cdot c \\le b \\cdot d.$$$

Lean4

theorem mul_lt_mul_of_lt_of_le_of_nonneg_of_pos [PosMulMono α] [MulPosStrictMono α] (h₁ : a < b) (h₂ : c ≤ d)
    (a0 : 0 ≤ a) (d0 : 0 < d) : a * c < b * d :=
  (mul_le_mul_of_nonneg_left h₂ a0).trans_lt (mul_lt_mul_of_pos_right h₁ d0)

Похожие утверждения