English
Let α and β be ordered additive groups, and f be an order-preserving monoid homomorphism from α to β. Then f is monotone if and only if it sends nonpositive elements to nonpositive elements; equivalently, for all a ≤ 0 we have f(a) ≤ 0.
Русский
Пусть α, β - упорядоченные коммутативные группы, и f: α → β является моноидным гомоморфизмом, сохраняющим порядок. Тогда f монотонна тогда и только тогда, когда положительно неотрицательные элементы (≤ 0) отправляются в элементы неотрицательные (≤ 0); то есть ∀ a ≤ 0, f(a) ≤ 0.
LaTeX
$$$Monotone(f) \\iff \\forall a \\le 0,\\; f(a) \\le 0$$$
Lean4
theorem monotone_iff_map_nonpos : Monotone (f : α → β) ↔ ∀ a ≤ 0, f a ≤ 0 :=
antitone_comp_ofDual_iff.symm.trans <| antitone_iff_map_nonpos (α := αᵒᵈ) (iamhc := iamhc) _
