sum_comp_perm_mul_le_sum_mul — Mathlib

English

Equality case for AntivaryOn: ∑ f i · g i = ∑ f i · g(σ i) iff AntivaryOn f (g ∘ σ) s.

Русский

Условие равенства для AntivaryOn: сумма равна тогда и только тогда, когда AntivaryOn f (g ∘ σ) s.

LaTeX

$$$\displaystyle \text{If } \operatorname{AntivaryOn}(f,g,s) \text{ then } \sum_{i\in s} f(i) \cdot g(i) = \sum_{i\in s} f(i) \cdot g(σ(i)) \iff \operatorname{AntivaryOn}(f, g \circ σ, s).$$$

Lean4

/-- **Rearrangement Inequality**: Pointwise multiplication of `f` and `g` is maximized when `f` and
`g` monovary together on `s`. Stated by permuting the entries of `f`. -/
theorem sum_comp_perm_mul_le_sum_mul (hfg : MonovaryOn f g s) (hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ s) :
    ∑ i ∈ s, f (σ i) * g i ≤ ∑ i ∈ s, f i * g i :=
  hfg.sum_comp_perm_smul_le_sum_smul hσ

Похожие утверждения