English
An injective map f that preserves addition and multiplication and respects order transfers the IsOrderedRing structure from the target to the domain, yielding an ordered ring on the domain.
Русский
Инъективная отображение, сохраняющее сложение и умножение и сохраняющее порядок, переносит структуру упорядоченного кольца с цельной области на область домена, образуя упорядованное кольцо на области домена.
LaTeX
$$$f: S\to R$ инъективно, сохраняет +, \cdot, и порядок; тогда исходит IsOrderedRing(S) из IsOrderedRing(R).$$
Lean4
/-- Pullback an `IsOrderedRing` under an injective map. -/
protected theorem isOrderedRing [IsOrderedRing R] [Semiring S] [PartialOrder S] (f : S → R) (zero : f 0 = 0)
(one : f 1 = 1) (add : ∀ x y, f (x + y) = f x + f y) (mul : ∀ x y, f (x * y) = f x * f y)
(le : ∀ {x y}, f x ≤ f y ↔ x ≤ y) : IsOrderedRing S :=
{ __ := Function.Injective.isOrderedAddMonoid f add le
zero_le_one := le.1 <| by simp only [zero, one, zero_le_one]
mul_le_mul_of_nonneg_left a b c h
hc := le.1 <| by rw [mul, mul]; refine mul_le_mul_of_nonneg_left (le.2 h) ?_; rwa [← zero, le]
mul_le_mul_of_nonneg_right a b c h
hc := le.1 <| by rw [mul, mul]; refine mul_le_mul_of_nonneg_right (le.2 h) ?_; rwa [← zero, le] }
