const_mul_of_nonpos — Mathlib

English

Let R be a semiring with a preorder, α a preorder, and f: α → R antitone. If a ≤ 0 and the ambient order/ring properties hold, then the map x ↦ a · f(x) is monotone on α.

Русский

Пусть R — полускольник с пределовым порядком, α — множество с предикатным порядком, f: α → R антинотонична. При условии a ≤ 0 и соответствующих предположениях порядка/кольца отображение x ↦ a · f(x) монотонно по α.

LaTeX

$$$\text{Antitone}(f) \wedge a \le 0 \Rightarrow \text{Monotone}(x \mapsto a \cdot f(x))$$$

Lean4

theorem const_mul_of_nonpos [ExistsAddOfLE R] [PosMulMono R] [AddRightMono R] [AddRightReflectLE R] (hf : Antitone f)
    (ha : a ≤ 0) : Monotone fun x => a * f x :=
  (antitone_mul_left ha).comp hf

Похожие утверждения