English
Let S act on R by a scalar action compatible with the ring structure of R (a SMulZeroClass action). Then the polynomial ring R[X] carries a natural S-action given by acting on coefficients termwise; that is, for every s in S and p in R[X], the coefficient of X^n in s · p is s · (the coefficient of X^n in p).
Русский
Пусть S действует на кольцо R скалярно, совместно со структурой R (действие SMulZeroClass). Тогда многочлены над R, образованные в кольце R[X],Naturally inherit scalar action: элемент s ∈ S действует на p ∈ R[X] по коэффициентам, т.е. коэффициент при X^n в s · p равен s · (коэффициент при X^n в p).
LaTeX
$$$\forall s \in S, \forall p \in R[X], \forall n \in \mathbb{N},\quad \operatorname{coeff}_n(s \cdot p) = s \cdot \operatorname{coeff}_n(p).$$$
Lean4
instance smulZeroClass {S : Type*} [SMulZeroClass S R] : SMulZeroClass S R[X]
where
smul r p := ⟨r • p.toFinsupp⟩
smul_zero a := congr_arg ofFinsupp (smul_zero a)
