natCast_inj — Mathlib

English

Let m,n be natural numbers and R a semiring of characteristic zero. The natural-number embedding into the polynomial ring R[X] is injective: if the constant polynomials corresponding to m and n are equal, then m = n.

Русский

Пусть m,n ∈ ℕ и R — полупрямая кольцо характеристикой 0. В многочленовом кольце R[X] естественные числа внедряются инъективно: если константные полиномы m и n совпадают, то m = n.

LaTeX

$$$ (↑m : R[X]) = ↑n \\iff m = n $$$

Lean4

@[norm_cast]
theorem natCast_inj {m n : ℕ} {R : Type*} [Semiring R] [CharZero R] : (↑m : R[X]) = ↑n ↔ m = n :=
  by
  constructor
  · intro h
    apply_fun fun p => p.coeff 0 at h
    simpa using h
  · rintro rfl
    rfl

Похожие утверждения