C_mul_dvd — Mathlib

English

For any ring K and f ∈ K[X], a ∈ K, the identity (X − C a) · (f /ₘ (X − C a)) = f − f %ₘ (X − C a) holds, expressing division with remainder by the monic X − C a.

Русский

Для кольца K и полинома f в K[X] выполняется тождество (X − C a) · (f ÷ₘ (X − C a)) = f − f %ₘ (X − C a), выражающее деление по множеству моник X − C a.

LaTeX

$${K : Type*} [Ring K] (f : Polynomial K) (a : K) : (X - C a) * (f /ₘ (X - C a)) = f - f %ₘ (X - C a)$$

Lean4

theorem C_mul_dvd (ha : a ≠ 0) : C a * p ∣ q ↔ p ∣ q :=
  ⟨fun h => dvd_trans (dvd_mul_left _ _) h, fun ⟨r, hr⟩ =>
    ⟨C a⁻¹ * r, by
      rw [mul_assoc, mul_left_comm p, ← mul_assoc, ← C.map_mul, mul_inv_cancel₀ ha, C.map_one, one_mul, hr]⟩⟩

Похожие утверждения