divByMonic_add_X_sub_C_mul_derivative_divByMonic_eq_derivative

English

For any polynomial f ∈ K[X] and a ∈ K, the derivative of f can be recovered via the division by monic X − C a: d/dx f = d/dx (f ÷ Monic) · (X − C a) + derivative of the quotient, which yields the stated equality.

Русский

Для полинома f над K и элемента a выполняется формула производной через деление на моник X − C a: производная f равна производной частного плюс (X − C a) умноженное на производную частного, что эквивалентно приведённому равенству.

LaTeX

$$divByMonic_add_X_sub_C_mul_derivative_divByMonic_eq_derivative f a$$

Lean4

theorem divByMonic_add_X_sub_C_mul_derivative_divByMonic_eq_derivative {K : Type*} [CommRing K] (f : K[X]) (a : K) :
    f /ₘ (X - C a) + (X - C a) * derivative (f /ₘ (X - C a)) = derivative f :=
  by
  have key := by apply congrArg derivative <| X_sub_C_mul_divByMonic_eq_sub_modByMonic f a
  simpa only [derivative_mul, derivative_sub, derivative_X, derivative_C, sub_zero, one_mul,
    modByMonic_X_sub_C_eq_C_eval] using key

Похожие утверждения