eval_derivative_div_eval_of_ne_zero_of_splits

English

If f splits over i, and roots lie in the range of i, then f splits over RingHom.id K.

Русский

Если f распадается через i и корни лежат в диапазоне i, то f распадается над RingHom.id K.

LaTeX

$$$\forall f:K[X],\ Splits i f \land (\forall a\in (f.map i).roots, a\in i.range) \Rightarrow Splits (RingHom.id K) f$$$

Lean4

theorem eval_derivative_div_eval_of_ne_zero_of_splits {p : K[X]} {x : K} (h : p.Splits (.id K)) (hx : p.eval x ≠ 0) :
    p.derivative.eval x / p.eval x = (p.roots.map fun z ↦ 1 / (x - z)).sum :=
  by
  rw [eval_derivative_eq_eval_mul_sum_of_splits h hx]
  exact mul_div_cancel_left₀ _ hx

Похожие утверждения