English
For a monoid M acting on a semiring R, each x in M defines a ring endomorphism of R by φ_x(r) = x • r. Moreover, x ↦ φ_x is a monoid homomorphism from M into the endomorphism monoid End(R), i.e., φ_{xy} = φ_x ∘ φ_y and φ_1 = id_R.
Русский
Пусть M действует на полукумеле R. Для каждого x в M определим кольцевой однородный конформер φ_x: R → R по формуле φ_x(r) = x • r. При этом отображение x ↦ φ_x является однородным гомоморфизмом M в моноид End(R): φ_{xy} = φ_x ∘ φ_y и φ_1 = id_R.
LaTeX
$$$\\exists \\phi : M \\to^* \\operatorname{End}(R)\\;\\text{с условием}\\; \\phi(x)(r) = x \\cdot r\\;\\forall x\\in M, r\\in R,$\\n$\\phi(xy) = \\phi(x) \\circ \\phi(y)$ и $\\phi(1) = \\mathrm{id}_R$$$
Lean4
/-- Each element of the monoid defines a semiring homomorphism. -/
@[simps!]
def toRingHom [MulSemiringAction M R] (x : M) : R →+* R :=
{ MulDistribMulAction.toMonoidHom R x, DistribMulAction.toAddMonoidHom R x with }
