English
Let A and B be commutative bialgebras over a commutative ring R, and let f be a morphism from A to B in the category of commutative bialgebras. Then the underlying map f.hom is a BialgHom from A to B; i.e. f.hom preserves both algebra and coalgebra structures.
Русский
Пусть A и B — коммутатные биалгебры над кольцом R, и пусть f: A → B — морфизм в категории коммутативных биалгебр. Тогда подбойный отображение f.hom является биалгоморфизмом R между A и B, сохраняющим и умножение, и coalgebra-структуру.
LaTeX
$$$\forall A,B \in \mathrm{CommBialgCat}(R),\ \forall f \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{CommBialgCat}}(A,B),\ \ f.\mathrm{hom} \in \mathrm{BialgHom}(R, A.\mathrm{carrier}, B.\mathrm{carrier}).$$$
Lean4
/-- Turn a morphism in `CommBialgCat` back into a `BialgHom`. -/
abbrev hom (f : Hom A B) : A →ₐc[R] B :=
ConcreteCategory.hom (C := CommBialgCat R) f
