English
For fg modules V,W over R and an isomorphism i: V ≅ W, conjugation by i on an endomorphism f of V corresponds to conjugation by the associated linear equivalence; the two constructions agree when viewed in the underlying linear setting.
Русский
Для FG-модулей V, W и изоморфизма i: V ≅ W коньюгация f по i на эндоморфизме V соответствует коньюгированию по соответствующему линейному эквиваленту; две конструирования совпадают на уровне линейных отображений.
LaTeX
$$$\forall V,W: FGModuleCat(R), i: V\cong W, f: End(V),\quad i.conj(f) = FGModuleCat.ofHom( LinearEquiv.conj(isoToLinearEquiv(i)) (f.hom) ).$$$
Lean4
theorem conj_eq_conj {V W : FGModuleCat R} (i : V ≅ W) (f : End V) :
Iso.conj i f = FGModuleCat.ofHom (LinearEquiv.conj (isoToLinearEquiv i) f.hom) :=
rfl
