English
For a commutative semiring R, a Subsemiring s, a Finset t, and a function f: t → R, if f(c) ∈ s for all c ∈ t, then the product over t of f equals ∈ s.
Русский
Для коммутативного полугруппы R и подполе s: если для каждого элемента индекса i из Finset t выполняется f(i) ∈ s, то произведение значений f(i) над i∈t принадлежит s.
LaTeX
$${ι} {t : Finset ι} {f : ι → R} → (∀ c ∈ t, f c ∈ s) → (∏ i ∈ t, f i) ∈ s$$
Lean4
/-- Product of elements of a subsemiring of a `CommSemiring` indexed by a `Finset` is in the
`Subsemiring`. -/
protected theorem prod_mem {R : Type*} [CommSemiring R] (s : Subsemiring R) {ι : Type*} {t : Finset ι} {f : ι → R}
(h : ∀ c ∈ t, f c ∈ s) : (∏ i ∈ t, f i) ∈ s :=
prod_mem h
