mem_sSup_of_directedOn — Mathlib

English

For a directedOn family S of subsemirings, and x ∈ R, x ∈ iSup S iff ∃ s ∈ S, x ∈ s.

Русский

Для направленногоOn семейства S подполемеров: x ∈ iSup S ⇔ ∃ s ∈ S, x ∈ s.

LaTeX

$$$\\forall x,\\ x \\in iSup S \\iff \\exists s ∈ S, x ∈ s$$$

Lean4

theorem mem_sSup_of_directedOn {S : Set (Subsemiring R)} (Sne : S.Nonempty) (hS : DirectedOn (· ≤ ·) S) {x : R} :
    x ∈ sSup S ↔ ∃ s ∈ S, x ∈ s := by
  haveI : Nonempty S := Sne.to_subtype
  simp only [sSup_eq_iSup', mem_iSup_of_directed hS.directed_val, SetCoe.exists, exists_prop]

Похожие утверждения