English
There is an induction principle for SkewMonoidAlgebra: to prove a property for all elements, it suffices to prove it for 0 and to show closure under adding single a b outside the existing support.
Русский
Существует принцип индукции для SkewMonoidAlgebra: чтобы доказать свойство для всех элементов, достаточно доказать его для 0 и показать замкнутость относительно сложения с единичными a b вне поддержки.
LaTeX
$$$p0 \;\&\; (\forall a b f, a \notin f.support \land b \neq 0 \land p f \Rightarrow p (single a b + f)) \Rightarrow p f$$$
Lean4
theorem single_algebraMap_eq_algebraMap_mul_of (a : G) (b : k) [MulSemiringAction G A] [SMulCommClass G k A] :
single a (algebraMap k A b) = algebraMap k (SkewMonoidAlgebra A G) b * of A G a := by
simp [coe_algebraMap, comp_apply, of_apply, single_mul_single, one_mul, smul_one, mul_one]
/- Hypotheses needed for `k`-algebra homomorphism from `SkewMonoidAlgebra k G`-/
