English
The set of centroid endomorphisms carries a natural star-additive-monoid structure defined pointwise: (star f)(x) = star(f(x)). In particular, star is involutive and distributes over addition.
Русский
Множество центроидных однимиобразий обладает естественной звездной структурой сложения и моноида, определенной покомпонентно: (star f)(x) = star(f(x)); star является инволютивной и дистрибутивной по сложению.
LaTeX
$$$\\forall f:\\, CentroidHom(\\alpha),\\forall g:\\, CentroidHom(\\alpha),\\ (\\ast f)\\0(x) = \\ast (f(x)),\\; \\ast(\\ast f) = f,\\; \\ast(f+g) = \\ast f + \\ast g$$$
Lean4
instance instStarAddMonoid : StarAddMonoid (CentroidHom α)
where
star_involutive f := ext (fun _ => by rw [star_apply, star_apply, star_star, star_star])
star_add _ _ := ext fun _ => star_add _ _
