English
Under the same non-degeneracy hypotheses as above, the equality for addY/ addZ with the affine counterpart holds in an equivalent form: W'.negAddY P Q / addZ^3 = W.toAffine.negAddY( ... ) with the corresponding slope.
Русский
При тех же предположениях невырождения сохраняется эквивалентная форма для addY/addZ с афинной компонентацией через наклон.
LaTeX
$$$$ \\frac{W.negAddY(P,Q)}{(addZ(P,Q))^3} = W.toAffine.negAddY\\left( \\frac{P_x}{P_z^2}, \\frac{Q_x}{Q_z^2}, \\frac{P_y}{P_z^3}, \\text{Slope}(\\frac{P_x}{P_z^2}, \\frac{Q_x}{Q_z^2}, \\frac{P_y}{P_z^3}, \\frac{Q_y}{Q_z^3}) \\right) $$$$
Lean4
theorem addY_of_X_eq {P Q : Fin 3 → F} (hP : W.Equation P) (hQ : W.Equation Q) (hPz : P z ≠ 0) (hQz : Q z ≠ 0)
(hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2) : W.addY P Q = addU P Q ^ 3 := by
rw [addU, ← neg_div, div_pow, ← addY_of_X_eq' hP hQ hx,
mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 3 <| mul_ne_zero hPz hQz]
