genericPoint_eq_bot_of_affine — Mathlib

English

The germ-to-function-field map is compatible with equality: if two sections agree as germs, their images in the function field agree.

Русский

Герм к полю функций согласован по равенству: если две секции совпадают как гермы, их изображения в поле функций совпадают.

LaTeX

$$$\forall s,t\in \Gamma(X,U):\ (s_{\eta}=t_{\eta})\Rightarrow \big(X.germToFunctionField U\big)(s)=(X.germToFunctionField U)(t).$$$

Lean4

@[simp]
theorem genericPoint_eq_bot_of_affine (R : CommRingCat) [IsDomain R] : genericPoint (Spec R) = (⊥ : PrimeSpectrum R) :=
  by
  apply (genericPoint_spec (Spec R)).eq
  rw [isGenericPoint_def]
  rw [← PrimeSpectrum.zeroLocus_vanishingIdeal_eq_closure, PrimeSpectrum.vanishingIdeal_singleton]
  rw [← PrimeSpectrum.zeroLocus_singleton_zero]
  rfl

Похожие утверждения