English
Let P be a property of ring homomorphisms that is preserved by isomorphisms. There is a corresponding stalkwise transfer of P to morphisms of schemes, defined by requiring that for every prime p of the base ring, the induced localized ring homomorphism satisfies P. This stalkwise version is itself a morphism property on schemes.
Русский
Пусть P — свойство гомоморфизмов колебательных кол-количеств, сохраняемое изоморфизмами. Существует соответствующее «локальное по стэкам» преобразование P к морфизмам схем, задаваемое требованием, чтобы для каждой простой идеал-переменной p базовой кольцевой схемы локализованный гомоморфизм удовлетворял P. Это stalkwise-свойство также является свойством морфизмов между схемами.
LaTeX
$$$\operatorname{HasRingHomProperty}(\text{stalkwise }P)(\varphi) \iff \forall \mathfrak p \in \operatorname{Spec}(S),\; P\big(\operatorname{Localization.localRingHom}(\_, \mathfrak p, \varphi)\big).$$$
Lean4
theorem stalkwise {P} (hP : RingHom.RespectsIso P) :
HasRingHomProperty (stalkwise P) fun {_ S _ _} φ ↦
∀ (p : Ideal S) (_ : p.IsPrime), P (Localization.localRingHom _ p φ rfl) :=
by
have := stalkwiseIsZariskiLocalAtTarget_of_respectsIso hP
have := stalkwise_isZariskiLocalAtSource_of_respectsIso hP
convert of_isZariskiLocalAtSource_of_isZariskiLocalAtTarget (P := AlgebraicGeometry.stalkwise P) with R S _ _ φ
exact (stalkwise_Spec_map_iff hP (CommRingCat.ofHom φ)).symm
