structurePresheafInCommRing — Mathlib

English

Let 𝒜 be a graded submodule data with ring structure. The structure presheaf on the projective spectrum Proj top 𝒜, with values in commutative rings, is obtained by taking the underlying rings of the Type-valued presheaf and using the induced restriction maps. In other words, for each open U, the ring assigned is the ring underlying the Type-valued object ((structureSheafInType 𝒜).1.obj U), and the restriction maps come from the corresponding structure maps.

Русский

Пусть 𝒜 задаёт градуированное подмодули и кольцевые структуры. Структурная предшепа на проективном спектре Proj top 𝒜, значимая в кольцах-комм, получается путём дублирования кольцевой структуры в типовом варианте: для каждого открытого множества U присваивается кольцо, тождественное кольцу, лежащему внутри ((structureSheafInType 𝒜).1.obj U), а отображения ограничений получаются из соответствующих отображений структуры.

LaTeX

$$$\mathcal{F}_{\mathrm{Comm}}(U) = ((\mathrm{structureSheafInType}\; 𝒜).1\!\ obj\ U)\quad\text{and}\quad \mathcal{F}_{\mathrm{Comm}}(i) = ((\mathrm{structureSheafInType}\; 𝒜).1\!\map i).$$$

Lean4

/-- The structure presheaf, valued in `CommRing`, constructed by dressing up the `Type`-valued
structure presheaf. -/
@[simps obj_carrier]
def structurePresheafInCommRing : Presheaf CommRingCat (ProjectiveSpectrum.top 𝒜)
    where
  obj U := CommRingCat.of ((structureSheafInType 𝒜).1.obj U)
  map
    i :=
    CommRingCat.ofHom
      { toFun := (structureSheafInType 𝒜).1.map i
        map_zero' := rfl
        map_add' := fun _ _ => rfl
        map_one' := rfl
        map_mul' := fun _ _ => rfl }

Похожие утверждения