isAffine_of_isAffine_isAffine_isAffine

English

If the images of X and Y in S are disjoint, the pullback X ×_S Y is empty.

Русский

Если изображения X и Y в S попеременно не пересекаются, то пулбэк X ×_S Y пуст.

LaTeX

$$$$ \text{Disjoint}(\mathrm{range}(f), \mathrm{range}(g)) \implies (X \times_S Y) \text{ is empty} $$$$

Lean4

instance isAffine_of_isAffine_isAffine_isAffine {X Y Z : Scheme} (f : X ⟶ Z) (g : Y ⟶ Z) [IsAffine X] [IsAffine Y]
    [IsAffine Z] : IsAffine (pullback f g) :=
  .of_isIso
    (pullback.map f g (Spec.map (Γ.map f.op)) (Spec.map (Γ.map g.op)) X.toSpecΓ Y.toSpecΓ Z.toSpecΓ
        (Scheme.toSpecΓ_naturality f) (Scheme.toSpecΓ_naturality g) ≫
      (PreservesPullback.iso Scheme.Spec _ _).inv)
      -- The converse is also true. See `Scheme.isEmpty_pullback_iff`.

Похожие утверждения