English
Let X be a scheme and x = y a point with h: x = y. The canonical residue-field morphism between κ(x) and κ(y) induced by h coincides with the stalk-level congruence between the stalks at x and y.
Русский
Пусть X – схема, x и y – точки, такие что x = y через h. Тогда каноническое гомоморфизм остаточных полей κ(x) → κ(y), получаемый из h, совпадает с локально-шероховатость-ограничением между локальными секциями в точках x и y.
LaTeX
$$$\\kappa(x) \\xrightarrow{\\mathrm{residue\\_x}} \\kappa(y) \nrightarrow \\, (X.presheaf.stalkCongr(\\mathrm{of\\_eq}\\, h)).hom \\, \\kappa(y)$, i.e. \n(X.residue x) ; (X.residueFieldCongr h).hom = (X.presheaf.stalkCongr(\\mathrm{of\\_eq} h)).hom ; X.residue y$$
Lean4
@[reassoc]
theorem residue_residueFieldCongr (X : Scheme) {x y : X} (h : x = y) :
X.residue x ≫ (X.residueFieldCongr h).hom = (X.presheaf.stalkCongr (.of_eq h)).hom ≫ X.residue y :=
by
subst h
simp
