English
There is an instance showing that the class of open immersions is jointly surjective preserving; specifically, given a diagram with pullbacks, the preimage under base change exists as required, with the standard isomorphisms witnessing base-change behavior.
Русский
Существует экземпляр, показывающий, что множество открытых вмещений является совместно сюръективно сохраняющимся; в частности, для диаграммы с пуллбаками существует требуемый предобраз, with соответствующие изоморфизмы базовых изменений.
LaTeX
$$instance : IsJointlySurjectivePreserving IsOpenImmersion$$
Lean4
instance : IsJointlySurjectivePreserving @IsOpenImmersion where
exists_preimage_fst_triplet_of_prop {X Y S f g} _ hg x y
h :=
by
rw [← show _ = (pullback.fst _ _ : pullback f g ⟶ _).base from PreservesPullback.iso_hom_fst Scheme.forgetToTop f g]
have : x ∈ Set.range (pullback.fst f.base g.base) :=
by
rw [TopCat.pullback_fst_range f.base g.base]
use y
obtain ⟨a, ha⟩ := this
use (PreservesPullback.iso Scheme.forgetToTop f g).inv a
rwa [← TopCat.comp_app, Iso.inv_hom_id_assoc]
