English
There is a canonical identification of the comap of a basic open with a localization map between the corresponding localizations.
Русский
Существует каноническое тождество комап базового открытого со соответствующей локализационной картой между локализациями.
LaTeX
$$$comap f (\\mathrm{basicOpen}\\ x) (\\mathrm{basicOpen}(f x)) (\\mathrm{comap}\\ f) = \\mathrm{IsLocalization.map}$(...)$$
Lean4
theorem comap_comp (f : R →+* S) (g : S →+* P) (U : Opens (PrimeSpectrum.Top R)) (V : Opens (PrimeSpectrum.Top S))
(W : Opens (PrimeSpectrum.Top P)) (hUV : ∀ p ∈ V, PrimeSpectrum.comap f p ∈ U)
(hVW : ∀ p ∈ W, PrimeSpectrum.comap g p ∈ V) :
(comap (g.comp f) U W fun p hpW => hUV (PrimeSpectrum.comap g p) (hVW p hpW)) =
(comap g V W hVW).comp (comap f U V hUV) :=
RingHom.ext fun s =>
Subtype.eq <|
funext fun p => by rw [comap_apply, Localization.localRingHom_comp _ (PrimeSpectrum.comap g p.1).asIdeal] <;> simp
