English
The valuative criterion for proper morphisms expresses that a morphism is proper iff it is universally closed and quasi-compact and locally of finite type and quasi-separated.
Русский
Критерий Валюативности для правильных морфизмов выражает, что морфизм является правильным, если он универсально замкнут и квази-жат, локален по типу и квази-разделён.
LaTeX
$$$\mathrm{IsProper}(f) \iff \big(\mathrm{ValuativeCriterion}(f) \wedge \mathrm{QuasiCompact}(f) \wedge \mathrm{QuasiSeparated}(f) \wedge \mathrm{LocallyOfFiniteType}(f)\big)$$$
Lean4
/-- The **valuative criterion** for proper morphisms. -/
@[stacks 0BX5]
theorem eq_valuativeCriterion :
@IsProper = ValuativeCriterion ⊓ @QuasiCompact ⊓ @QuasiSeparated ⊓ @LocallyOfFiniteType :=
by
rw [isProper_eq, IsSeparated.eq_valuativeCriterion, ValuativeCriterion.eq, UniversallyClosed.eq_valuativeCriterion]
simp_rw [inf_assoc]
ext X Y f
change _ ∧ _ ∧ _ ∧ _ ∧ _ ↔ _ ∧ _ ∧ _ ∧ _ ∧ _
tauto
