English
If J is a shape and F: J ⥤ ModuleCat R has a colimit, then forgetting to AddCommGrpCat preserves that colimit, i.e., colimits computed in ModuleCat R agree with those computed after forgetting to underlying abelian groups.
Русский
Если существует колимит для F: J ⥤ ModuleCat R, то забывание до AddCommGrpCat сохраняет колимит; колимиты в ModuleCat R совпадают с колимитами после забывания до группы.
LaTeX
$$$$ \operatorname{PreservesColimit}(F, \text{forget}_\mathrm{Module\,Cat\,R}\to\text{AddCommGrpCat}) $$$$
Lean4
@[reassoc]
theorem extendScalars_comp_id :
(extendScalarsComp f₁₂ (RingHom.id R₂)).hom ≫
Functor.whiskerLeft _ (extendScalarsId R₂).hom ≫ (Functor.rightUnitor _).hom =
𝟙 _ :=
by
ext M m
dsimp
erw [extendScalarsComp_hom_app_one_tmul f₁₂ (RingHom.id R₂) M m, extendScalarsId_hom_app_one_tmul]
rfl
