radius_le_smul — Mathlib

English

Multiplying the series by a nonzero scalar preserves radius: (c•p).radius = p.radius for c ≠ 0.

Русский

Умножение на ненулевой скаляр сохраняет радиус: radius(c•p) = radius(p) при c ≠ 0.

LaTeX

$$$\\text{If } c \\neq 0:\\quad (c \\cdot p).radius = p.radius.$$$

Lean4

theorem radius_le_smul {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {c : 𝕜} : p.radius ≤ (c • p).radius :=
  by
  simp only [radius, smul_apply]
  refine iSup_mono fun r ↦ iSup_mono' fun C ↦ ⟨‖c‖ * C, iSup_mono' fun h ↦ ?_⟩
  simp only [le_refl, exists_prop, and_true]
  intro n
  rw [norm_smul c (p n), mul_assoc]
  gcongr
  exact h n

Похожие утверждения