eqOn_zero_or_eventually_ne_zero_of_preconnected

English

Let f be analytic on a neighborhood of a preconnected set U. Then either f is identically zero on U, or f is nonzero on a codiscrete (large) subset of U.

Русский

Пусть f аналитична в окрестности множества U; если U предсоединено, то либо f тождественно равна нулю на U, либо нуль-функция не равна нулю на_codiscreteWithin U (существует большая подмножество, где f не ноль).

LaTeX

$$$\\EqOn f 0 U \\lor \\forall x\\,\\, x\\in U \\Rightarrow f(x) \\neq 0$ задуманно? \n$ $$$

Lean4

theorem eqOn_zero_or_eventually_ne_zero_of_preconnected (hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U) (hU : IsPreconnected U) :
    EqOn f 0 U ∨ ∀ᶠ x in codiscreteWithin U, f x ≠ 0 :=
  by
  simp only [or_iff_not_imp_right, ne_eq, eventually_iff, mem_codiscreteWithin, disjoint_principal_right, not_forall]
  rintro ⟨x, hx, hx2⟩
  refine hf.eqOn_zero_of_preconnected_of_frequently_eq_zero hU hx fun nh ↦ hx2 ?_
  filter_upwards [nh] with a ha
  simp_all

Похожие утверждения