English
If f is a family of continuous linear maps indexed by i ∈ σ and p a mvPolynomial, then x ↦ eval (f i x) p is analytic in a neighborhood for each i and coheres with the evaluation across i.
Русский
Если имеется семейство непрерывных линейных отображений, индексируемое по i ∈ σ, и mvPolynomial p, то x ↦ eval (f i x) p аналитично на окрестности для каждого i, согласуясь с оценкой по i.
LaTeX
$$$\\forall i:\\, AnalyticOnNhd\\, 𝕜 (f(i)) p\\text{...} \\Rightarrow AnalyticOnNhd\\, 𝕜 ( x \\mapsto \\operatorname{eval}(f x) p)\\, \\text{на } \\{univ\\}.$$$
Lean4
theorem eval_linearMap (f : E →ₗ[𝕜] σ → B) (p : MvPolynomial σ B) : AnalyticOnNhd 𝕜 (fun x ↦ eval (f x) p) Set.univ :=
AnalyticOnNhd.eval_continuousLinearMap { f with cont := f.continuous_of_finiteDimensional } p
