English
There is a canonical bijection between maps from the free object on F to G and natural transformations from F to G after forgetting the module structure.
Русский
Существует каноническое биекция между отображениями от свободного объекта на F к G и естественными преобразованиями от F к забытым структурам G.
LaTeX
$$$\\mathrm{freeHomEquiv}: (\\mathrm{freeObj}\,F \\to G) \\simeq (F \\to G.presheaf \\circ \\mathrm{forget})$$$
Lean4
/-- The bijection `(freeObj F ⟶ G) ≃ (F ⟶ G.presheaf ⋙ forget _)` when
`F` is a presheaf of types and `G` a presheaf of modules. -/
noncomputable def freeHomEquiv : (freeObj F ⟶ G) ≃ (F ⟶ G.presheaf ⋙ forget _)
where
toFun ψ := freeAdjunctionUnit R F ≫ Functor.whiskerRight ((toPresheaf _).map ψ) _
invFun φ := freeObjDesc φ
left_inv ψ := by ext1 X; dsimp; ext x; simp [toPresheaf]
right_inv φ := by ext; simp [toPresheaf]
