English
Let f be a function 𝕜 → 𝕜, let a be an element of a normed star algebra A equipped with an isometric continuous functional calculus. If c ≥ 0 and ‖f(x)‖ ≤ c for every x in the spectrum of a, then the norm of the functional calculus image is bounded by c: ‖cfc(f, a)‖ ≤ c.
Русский
Пусть f : 𝕜 → 𝕜 и a ∈ A, где A имеет изометрический непрерывный функциональный kalkulyator. Если c ≥ 0 и ‖f(x)‖ ≤ c для каждого x из спектра a, тогда норма образа через функциональный калькулятор удовлетворяет ‖cfc(f, a)‖ ≤ c.
LaTeX
$$$0 \le c \land \Big( \forall x \in \sigma 𝕜 a, \|f(x)\| \le c \Big) \Rightarrow \|cfc f a\| \le c$$$
Lean4
theorem norm_cfc_le {f : 𝕜 → 𝕜} {a : A} {c : ℝ} (hc : 0 ≤ c) (h : ∀ x ∈ σ 𝕜 a, ‖f x‖ ≤ c) : ‖cfc f a‖ ≤ c :=
by
obtain (_ | _) := subsingleton_or_nontrivial A
· simpa [Subsingleton.elim (cfc f a) 0]
· refine cfc_cases (‖·‖ ≤ c) a f (by simpa) fun hf ha ↦ ?_
simp only [← cfc_apply f a, isLUB_le_iff (IsGreatest.norm_cfc f a hf ha |>.isLUB)]
rintro - ⟨x, hx, rfl⟩
exact h x hx
