English
Let a ∈ A satisfy p(a). If f is continuous on the spectrum of a, then applying the continuous functional calculus to f at a yields the image of f under the associated functional calculus hom, evaluated at a. In symbols, cfc f a equals cfcHom (a := a) ha applied to the restriction of f to the spectrum of a.
Русский
Пусть a ∈ A удовлетворяет p(a). Если f непрерывна на спектре a, то применение непрерывного функционального исчисления к f в a даёт образ f под соответствующим гомом функционального исчисления, применённый к a; то есть cfc f a = cfcHom (a := a) ha ⟨(spectrum R a).restrict f, hf.restrict⟩.
LaTeX
$$$ cfc f a = cfcHom (a := a) ha \langle (spectrum\, R\, a).restrict\, f, hf.restrict\rangle $$$
Lean4
theorem cfc_apply : cfc f a = cfcHom (a := a) ha ⟨_, hf.restrict⟩ := by rw [cfc_def, dif_pos ⟨ha, hf⟩]
