l2_opNorm_conjTranspose — Mathlib

English

For any matrix A in M_{m×n}(C), the L2-operator norm is unchanged by taking the conjugate transpose: ||A*||2 = ||A||2.

Русский

Для любой матрицы A из M_{m×n}(C) операторная норма L2 не меняется при взятии сопряженного转обра: ||A*||2 = ||A||2.

LaTeX

$$$\\forall A: M_{m\\times n}(\\mathbb{C}), \\|A^{\\ast}\\|_{2} = \\|A\\|_{2}$$$

Lean4

theorem l2_opNorm_conjTranspose [DecidableEq m] (A : Matrix m n 𝕜) : ‖Aᴴ‖ = ‖A‖ :=
  by
  rw [l2_opNorm_def, toEuclideanLin_eq_toLin_orthonormal, LinearEquiv.trans_apply, toLin_conjTranspose,
    adjoint_toContinuousLinearMap]
  exact ContinuousLinearMap.adjoint.norm_map _

Похожие утверждения