naturality_apply — Mathlib

English

For a morphism f: M1 → M2 of presheaves and a morphism g: X → Y in the base category, naturality of Hom with respect to g gives a commuting square: Hom.app f Y (M1.map g x) = M2.map g (Hom.app f X x).

Русский

Для оморфизма f: M1 → M2 и морфизма g: X → Y, естественность по g даёт commuting диаграмму: Hom.app f Y (M1.map g x) = M2.map g (Hom.app f X x).

LaTeX

$$$\mathrm{Hom.app} \; f_Y \big( M_1.map\ g\ x\big) = M_2.map\ g\big( \mathrm{Hom.app} \ f_X\; x\big).$$$

Lean4

theorem naturality_apply (f : M₁ ⟶ M₂) {X Y : Cᵒᵖ} (g : X ⟶ Y) (x : M₁.obj X) :
    Hom.app f Y (M₁.map g x) = M₂.map g (Hom.app f X x) :=
  CategoryTheory.congr_fun (Hom.naturality f g) x

Похожие утверждения