English
There is a nonunital star-algebra homomorphism from A into its multiplier algebra 𝓜(𝕜,A) that sends each a ∈ A to the element a in 𝓜(𝕜,A) with the natural action on A (preserving addition, multiplication, scalar action, and involution).
Русский
Существует неабелевого-негативного звёздообразующего гомоморфизма из A в 𝓜(𝕜,A), отправляющего каждый a ∈ A в элемент a в 𝓜(𝕜,A) с естественным действием на A (сохранение сложения, умножения, скалярного действия и инволюции).
LaTeX
$$$\text{coeHom}: A \to_{{\text{ NonUnital Star Alg}}} 𝓜(𝕜,A)$ с $\text{toFun}(a)=a$ и сохранением операций; формально описано детерминированно как не-Unital Star-Algebra гомоморфизм.$$
Lean4
/-- The coercion of an algebra into its multiplier algebra as a non-unital star algebra
homomorphism. -/
@[simps]
noncomputable def coeHom [StarRing 𝕜] [StarRing A] [StarModule 𝕜 A] [NormedStarGroup A] : A →⋆ₙₐ[𝕜] 𝓜(𝕜, A)
where
toFun a := a
map_smul' _ _ := ext _ _ _ _ <| Prod.ext (map_smul _ _ _) (map_smul _ _ _)
map_zero' := ext _ _ _ _ <| Prod.ext (map_zero _) (map_zero _)
map_add' _ _ := ext _ _ _ _ <| Prod.ext (map_add _ _ _) (map_add _ _ _)
map_mul' _
_ :=
ext _ _ _ _ <|
Prod.ext (ContinuousLinearMap.ext fun _ => (mul_assoc _ _ _))
(ContinuousLinearMap.ext fun _ => (mul_assoc _ _ _).symm)
map_star'
_ :=
ext _ _ _ _ <|
Prod.ext (ContinuousLinearMap.ext fun _ => (star_star_mul _ _).symm)
(ContinuousLinearMap.ext fun _ => (star_mul_star _ _).symm)
