isSelfAdjoint_iff_isStarNormal — Mathlib

English

If p is idempotent in a C*-algebra, then p is a projection (self-adjoint) precisely when p is normal.

Русский

Если p является идемпотентом в C*-алгебре, тогда p является проекцией (сам-соответствующая) тогда и только тогда, когда p нормальна.

LaTeX

$$$$\text{IsSelfAdjoint}(p) \iff \text{IsStarNormal}(p) \quad\text{given } p^2 = p.$$$$

Lean4

/-- An idempotent element in a non-unital C⋆-algebra is self-adjoint iff it is normal. -/
theorem isSelfAdjoint_iff_isStarNormal {p : A} (hp : IsIdempotentElem p) : IsSelfAdjoint p ↔ IsStarNormal p :=
  by
  simp only [isSelfAdjoint_iff_isStarNormal_and_quasispectrumRestricts, QuasispectrumRestricts.real_iff,
    and_iff_left_iff_imp]
  intro h x hx
  rcases hp.quasispectrum_subset hx with (hx | hx) <;> simp [Set.mem_singleton_iff.mp hx]

Похожие утверждения