English
In a multivariable setting, Lagrange’s Mean Value Theorem can be adapted to convex domains: for a bilinear combination along a line segment in E, there exists a point z on the segment such that the difference f(y) − f(x) equals the derivative at z applied to (y − x).
Русский
В многомерном случае разновидность МВТ Лагранжа на выпуклой области: для билинейной комбинации вдоль отрезка между x и y существует z на отрезке, такой что f(y) − f(x) = f'(z)(y − x).
LaTeX
$$$\exists z ∈ \operatorname{segment}(x,y)\;:\; f(y)-f(x) = f'(z)(y-x)$$$
Lean4
theorem hasDerivWithinAt_of_bilinear (hu : HasDerivWithinAt u u' s x) (hv : HasDerivWithinAt v v' s x) :
HasDerivWithinAt (fun x ↦ B (u x) (v x)) (B (u x) v' + B u' (v x)) s x := by
simpa using (B.hasFDerivWithinAt_of_bilinear hu.hasFDerivWithinAt hv.hasFDerivWithinAt).hasDerivWithinAt
