deriv_pos_right_of_sign_deriv — Mathlib

English

If the sign of the derivative matches a positive direction from the right, then f'(b+) > 0 in a neighborhood to the right.

Русский

Если знак производной справа совпадает с положительным направлением, то производная справа положительна в окрестности слева направо.

LaTeX

$$$$\\forall b\\text{ near } x_0\\ (b>x_0)\\ \\Rightarrow \\ deriv f(b) > 0 \\text{ under the hypothesis}. $$$$

Lean4

theorem deriv_pos_right_of_sign_deriv {f : ℝ → ℝ} {x₀ : ℝ}
    (h₀ : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[≠] x₀, sign (deriv f x) = sign (x - x₀)) : ∀ᶠ (b : ℝ) in 𝓝[>] x₀, deriv f b > 0 :=
  by
  filter_upwards [nhdsGT_le_nhdsNE _ h₀, self_mem_nhdsWithin] with x hx' (hx : x₀ < x)
  rwa [← sub_pos, ← sign_eq_one_iff, ← hx', sign_eq_one_iff] at hx

Похожие утверждения