differentiable_of_differentiableOn_iUnion_of_isOpen

English

The iUnion differentiability criterion holds: the union differentiable iff each piece is differentiable.

Русский

Критерий дифференцируемости по iUnion: объединение дифференцируемо тогда и только тогда, когда каждый участок дифференцируем.

LaTeX

$$DifferentiableOn 𝕜 f (Set.iUnion fun i => s i) ↔ ∀ i, DifferentiableOn 𝕜 f (s i)$$

Lean4

theorem differentiable_of_differentiableOn_iUnion_of_isOpen {ι : Type*} {s : ι → Set E}
    (hf : ∀ i : ι, DifferentiableOn 𝕜 f (s i)) (hs : ∀ i, IsOpen (s i)) (hs' : ⋃ i, s i = univ) : Differentiable 𝕜 f :=
  by
  rw [← differentiableOn_univ, ← hs']
  exact DifferentiableOn.iUnion_of_isOpen hf hs

Похожие утверждения