English
Equivalence between two expressions of a derivative limit under a real scalar weights: scaling inside the norm vs scaling the vector.
Русский
Эквивалентность между двумя выражениями предела производной в реальном масштабе: взвешивание скалярного множителя внутри нормы против масштабирования вектора.
LaTeX
$$$$ \\text{hasFDerivAt_filter_real_equiv} \\; $$$$
Lean4
theorem fderivWithin_const_smul_field {R : Type*} [DivisionRing R] [Module R F] [SMulCommClass 𝕜 R F]
[ContinuousConstSMul R F] (c : R) (hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x) :
fderivWithin 𝕜 (c • f) s x = c • fderivWithin 𝕜 f s x :=
by
rcases eq_or_ne c 0 with rfl | hc
· simp
· lift c to Rˣ using IsUnit.mk0 _ hc
have : SMulCommClass Rˣ 𝕜 F := .symm _ _ _
exact (ContinuousLinearEquiv.smulLeft c).comp_fderivWithin hs
