English
Let E, F be normed spaces over 𝕜, c ∈ 𝕜, and s ⊆ E with a point x such that the derivative exists within s. Then the Fréchet derivative within s of f composed with scalar multiplication equals c times the derivative of f at the scaled point, under the appropriate unique differentiability condition.
Русский
Пусть E, F – нормированные пространства над 𝕜, c ∈ 𝕜, и s ⊆ E так, что существeт производная внутри s. Тогда фредельная производная внутри s от f(c··) равна c умножить на производную f в точке с масштабированным аргументом, при условии уникального различия.
LaTeX
$$$$ fderivWithin\\,\\mathbb{K}\\,(f \\lhd c\\cdot\\rhd)\\,s\\,x \\,=\\, c \\, fderivWithin\\,\\mathbb{K}\\,f\\,(c\\cdot s)\\,(c\\cdot x). $$$$
Lean4
theorem fderivWithin_comp_smul (c : 𝕜) (hs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x) :
fderivWithin 𝕜 (f <| c • ·) s x = c • fderivWithin 𝕜 f (c • s) (c • x) :=
by
rcases eq_or_ne c 0 with rfl | hc
· simp
· rw [fderivWithin_comp_smul_eq_fderivWithin_smul, fderivWithin_const_smul_field]
exact hs.smul hc
