English
For a function f: E → F between normed spaces and a scalar c, the derivative of the map x ↦ f(c x) at x is c times the derivative of f at c x. This is the standard chain rule for linear scaling inside the argument.
Русский
Для отображения f: E → F между нормированными пространствами и скаляра c производная от отображения x ↦ f(c x) в точке x равна c умножить на производную f в точке c x. Это стандартное правило ломаного удара для линейного масштабирования аргумента.
LaTeX
$$$$ fderiv\\,\\mathbb{K}\\,(f \\lhd c\\cdot\\rhd)\\,x \\,=\\, c \\, fderiv\\,\\mathbb{K}\\,f\\,(c\\cdot x). $$$$
Lean4
theorem fderiv_comp_smul (c : 𝕜) : fderiv 𝕜 (f <| c • ·) x = c • fderiv 𝕜 f (c • x) :=
by
rw [← fderivWithin_univ, fderivWithin_comp_smul _ uniqueDiffWithinAt_univ]
rcases eq_or_ne c 0 with rfl | hc <;> simp [smul_set_univ₀, *]
