contDiffAt_norm_smul_iff — Mathlib

English

If h is differentiableOn S, and h(x) ≠ 0 for all x ∈ S, then the function x ↦ (h(x))^{-1} is differentiableOn S.

Русский

Если h дифференцируема на S и для всех x ∈ S выполнено h(x) ≠ 0, то x ↦ (h(x))^{-1} дифференцируема на S.

LaTeX

$$$\\text{DifferentiableOn}_{\\mathbb{K}}(h^{-1}, S)$ given $\\text{DifferentiableOn}_{\\mathbb{K}}(h,S)$ and $\\forall x \\in S,\\ h(x) \\neq 0$$$

Lean4

theorem contDiffAt_norm_smul_iff (ht : t ≠ 0) : ContDiffAt ℝ n (‖·‖) x ↔ ContDiffAt ℝ n (‖·‖) (t • x)
    where
  mp h := h.contDiffAt_norm_smul ht
  mpr
    hd := by
    convert hd.contDiffAt_norm_smul (inv_ne_zero ht)
    rw [smul_smul, inv_mul_cancel₀ ht, one_smul]

Похожие утверждения