memLp_lineDeriv — Mathlib

English

If a Lipschitz function has line derivatives along a dense family of directions (or a dense subset), then those derivatives come from a single linear map, which is the Fréchet derivative.

Русский

Если губчатая функция имеет линейные производные вдоль плотного множества направлений, то эти производные вытекают из одной линейной карты и служат Фреше-деривативом.

LaTeX

$$$HasFDerivAt f L x \;\text{whenever the line derivatives along a dense set are given by }L.$$$

Lean4

theorem memLp_lineDeriv (hf : LipschitzWith C f) (v : E) : MemLp (fun x ↦ lineDeriv ℝ f x v) ∞ μ :=
  memLp_top_of_bound (aestronglyMeasurable_lineDeriv hf.continuous μ) (C * ‖v‖)
    (.of_forall fun _x ↦ norm_lineDeriv_le_of_lipschitz ℝ hf)

Похожие утверждения