cosh_half_dist — Mathlib

English

The reciprocal of the denominator function is ContMDiff of class n on the upper half-plane.

Русский

Обратный знаменателя функция является ContMDiff класса n на верхней полуплоскости.

LaTeX

$$$ContMDiff 𝓘(ℂ) 𝓘(ℂ) n (\lambda τ, \; (denom g τ)^{-1})$$

Lean4

theorem cosh_half_dist (z w : ℍ) : cosh (dist z w / 2) = dist (z : ℂ) (conj (w : ℂ)) / (2 * √(z.im * w.im)) :=
  by
  rw [← sq_eq_sq₀, cosh_sq', sinh_half_dist, div_pow, div_pow, one_add_div, mul_pow, sq_sqrt]
  · congr 1
    simp only [Complex.dist_eq, Complex.sq_norm, Complex.normSq_sub, Complex.normSq_conj, Complex.conj_conj,
      Complex.mul_re, Complex.conj_re, Complex.conj_im, coe_im]
    ring
  all_goals positivity

Похожие утверждения