convex_lt — Mathlib

English

Let f: E → β be monotone with respect to the given order. For any r ∈ β, the sublevel set {x ∈ E : f(x) ≤ r} is convex in E.

Русский

Пусть f: E → β монотонно по данной факторной переменной порядка. Для любого r ∈ β множество {x ∈ E : f(x) ≤ r} выпукло.

LaTeX

$$$$ \\operatorname{Convex}_{\\mathbb{K}}\\bigl\\{ x \\in E \\mid f(x) \\le r \\bigr\\} $$$$

Lean4

theorem convex_lt (hf : Monotone f) (r : β) : Convex 𝕜 {x | f x ≤ r} :=
  Set.sep_univ.subst ((hf.monotoneOn univ).convex_le convex_univ r)

Похожие утверждения