hyperplane_separation_point — Mathlib

English

Geometric form of Farkas' lemma: under suitable hypotheses, there exists a linear functional separating a convex cone and a disjoint compact set.

Русский

Геометрическая форма леммы Фаркаса: при подходящих условиях существует линейная функциональная функция, отделяющая конус от дисjointного компакта.

LaTeX

$$∃ f : StrongDual ℝ E, (∀ x ∈ C, f x ≥ 0) ∧ ∀ x ∈ K, f x < 0$$

Lean4

/-- Geometric interpretation of **Farkas' lemma**. Also stronger version of the
**Hahn-Banach separation theorem** for proper cones. -/
theorem hyperplane_separation_point (C : ProperCone ℝ E) (hx₀ : x₀ ∉ C) :
    ∃ f : StrongDual ℝ E, (∀ x ∈ C, 0 ≤ f x) ∧ f x₀ < 0 := by
  simpa [*] using C.hyperplane_separation (convex_singleton x₀)

Похожие утверждения