innerDual_union — Mathlib

English

If a convex cone C does not contain a point x0, there exists a hyperplane separating x0 from C; equivalently there exists y such that y lies in innerDual(C) and ⟨x0,y⟩ < 0.

Русский

Если конус C не содержит точку x0, существует гиперплоскость, отделяющая x0 от C; существует y ∈ innerDual(C) и ⟨x0,y⟩ < 0.

LaTeX

$$$\\exists y\\in F: y\\in innerDual(C)\\ \\,\\land\\ \\langle x_0,y\\rangle<0$$$

Lean4

theorem innerDual_union (s t : Set E) : innerDual (s ∪ t) = innerDual s ⊓ innerDual t :=
  le_antisymm (le_inf (fun _ hx _ hy ↦ hx <| .inl hy) fun _ hx _ hy ↦ hx <| .inr hy) fun _ hx _ =>
    Or.rec (fun h ↦ hx.1 h) (fun h ↦ hx.2 h)

Похожие утверждения