monotoneOn_slope_lt — Mathlib

English

If f is twice differentiable on an open convex set D and f'' is nonnegative on D, then f is convex on D.

Русский

Если f дважды дифференцируема на открытом выпуклом D и f'' неотрицательна на D, то f выпукла на D.

LaTeX

$$$\\forall D \\subseteq \\mathbb{R},\\; \\text{Convex}(D) \\Rightarrow \\forall f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R},\\; \\text{DifferentiableOn}(f, D) \\Rightarrow (\\text{Dense?}) \\Rightarrow (\\forall x\\in D, 0 \\le (\\mathrm{deriv}^{[2]} f)(x)) \\Rightarrow \\text{ConvexOn}(\\mathbb{R}, D, f).$$

Lean4

theorem monotoneOn_slope_lt (hfc : ConvexOn 𝕜 s f) (hxs : x ∈ s) : MonotoneOn (slope f x) ({y ∈ s | y < x}) :=
  (hfc.slope_mono hxs).mono fun _ ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨h1, h2.ne⟩

Похожие утверждения